SIMULATION LAB

滑块-斜（曲）面模型

小球 A 以初速度 \(v_0\) 滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道 B。页面用同一套守恒关系展示“上升到最高点共速”“返回底端像弹性碰撞”“初速度较大时飞出再落回”的全过程。

地面参考系：轨道 B 向右加速，系统水平质心匀速前进

初始：A 向右滑上静止轨道 B

能量分配

轨道动能 0.0%

小球动能 0.0%

重力势能 0.0%

v-t 图像

小球 0.00 m/s 轨道 0.00 m/s 初始：小球最快，轨道静止

参数调节

情形选择临界 0.00 m/s

小球初速度 \(v_0\) 4.00 m/s

圆弧半径 R 1.20 m

小球质量 m 1.00 kg

轨道质量 M 2.00 kg

播放倍率 0.70×

显示速度箭头显示能量条显示飞行轨迹地面参考系质心随动

当前状态

未冲出轨道

小球在圆弧上到达最高点后返回。最高点处小球相对轨道瞬时静止，因此小球和轨道具有相同的水平速度。

最高高度 \(h_{\max}\) 0.00 m

共速 \(v_{\text{共}}\) 0.00 m/s

临界速度 \(v_c\) 0.00 m/s

B 最大速度 0.00 m/s

关键时刻说明

点击工具栏右侧的关键位置按钮，可以把动画直接定位到对应阶段，并查看此时适用的守恒关系和类碰撞解释。

守恒校验与末速度

水平动量误差 0.000%

机械能误差 0.000%

离开时 \(v_A'\) 0.00 m/s

离开时 \(V_B'\) 0.00 m/s

读图要点：最高点不是“轨道静止”，而是“小球相对轨道没有沿轨道方向的速度”。在圆弧顶端或抛体最高点，小球竖直速度为零，并且水平速度等于轨道速度。

题目四问的结论

1. 守恒量

系统受到重力和水平面的支持力，竖直方向合外力不为零，所以总动量矢量不守恒；但水平方向没有外力，水平方向动量守恒。若把小球的重力势能计入机械能，则机械能守恒。

2. 最高点速度关系

小球到达最高点时，沿轨道方向的相对速度为零，因此小球与轨道的水平速度相同：

\[ m v_0=(M+m)v_{\text{共}},\qquad v_{\text{共}}=\frac{m v_0}{M+m} \] \[ \frac{1}{2}m v_0^2=\frac{1}{2}(M+m)v_{\text{共}}^2+mgh_{\max} \]

3. B 速度最大时刻

轨道 B 的速度在小球回到底端并离开轨道瞬间达到最大，此时相当于一维弹性碰撞结束。

底端分离的类弹性碰撞

小球回到底端时高度又回到初始高度，重力势能与初态相同；系统水平方向动量和机械能仍与初态相同。

\[ m v_0=m v_A' + M V_B' \] \[ \frac{1}{2}m v_0^2=\frac{1}{2}m{v_A'}^2+\frac{1}{2}M{V_B'}^2 \] \[ v_A'=\frac{m-M}{m+M}v_0,\qquad V_B'=\frac{2m}{m+M}v_0 \]

所以小球离开轨道后的方向由 \(m-M\) 的符号决定：若 \(m<M\)，小球反向弹回；若 \(m=M\)，小球离开时瞬时静止；若 \(m>M\)，小球仍向右运动。

为什么最高点一定共速

1. 轨道约束

把小球相对轨道的位置写成圆弧参数 \(\theta\)：

\[ x=R\sin\theta,\qquad h=R(1-\cos\theta) \] \[ (M+m)V_B+m\dot{x}=mv_0,\qquad V_B=\frac{m(v_0-\dot{x})}{M+m} \]

上升开始时 \(\dot{x}=v_0\)，所以 \(V_B=0\)；上升过程中 \(\dot{x}\) 逐渐变小，轨道 B 的速度变为正并增大。下滑阶段 \(\dot{x}<0\)，所以 B 仍继续向右加速。当小球上升到轨道上的最高点时，\(\dot\theta=0\)，也就是小球相对轨道瞬时不再沿圆弧运动。此时小球只随轨道一起水平运动，所以 \(v_{Ax}=V_B\)。

2. 飞出时也同理

若 \(v_0\) 大到能越过顶端，顶端切线竖直，小球离开顶端时的水平速度仍等于轨道速度。飞行到抛物线最高点时，竖直速度为零，因此又出现同样的“水平共速”。

观察任务

保持 \(m=1\,\mathrm{kg}\)、\(M=2\,\mathrm{kg}\)，调节 \(v_0\)，观察 \(h_{\max}\) 是否满足 \(h_{\max}=v_0^2/(3g)\)。
把 \(v_0\) 调到刚好不能飞出，再单步观察最高点：蓝色小球速度箭头和橙色轨道速度箭头是否等长。
把 \(v_0\) 调大到飞出轨道，观察小球是否会落回顶端，再沿轨道下滑。
改变 \(M/m\)，比较 \(v_A'=\frac{m-M}{m+M}v_0\) 的符号变化，判断小球离开底端后向左还是向右。

易错提醒

“最高点共速”不是说小球与轨道粘在一起，而是说相对轨道的瞬时速度为零。这个时刻的物理作用像完全非弹性碰撞：系统仍守恒机械能，但部分动能转化成了重力势能。