APPARATUS
实验装置
- DIS 机械能实验器（带 A、B、C、D 四个标定位置的圆形轨道）
- 双头光电门（位于 D 点附近）
- 金属圆柱体
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MECHANICAL ENERGY
沿曲线运动验证机械能守恒定律
从 A、B、C 点静止释放金属圆柱体，读取它到达 D 点附近双头光电门时的速度，比较重力势能减小量 mgΔh 与动能增加量 1/2mv² - 0 是否接近。
实验器材
DIS机械能实验器自制光电门金属圆柱体
实验步骤
- 测量金属圆柱体的直径
- A、B、C 三点离 D 点高度分别为 15 cm、10 cm、5 cm，由静止释放金属圆柱体
- 测量圆柱体质心通过 D 点速度并代入表达式验证
本机草稿
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草稿操作
保存实验参数、小组代号与表格；删除草稿不清空当前表格。设备连接与未填入表格的采集记录不保存。
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DATA WORKBENCH
沿曲线运动数据表格与能量图像
双头光电门速度来自“两探头距离 ÷ 时间差”。金属圆柱体直径按实验步骤记录，不参与双头光电门测速计算。
D 为最低点和光电门位置。填写或采集 A、B、C 及自由选点释放后到达 D 点的速度。相对 D 的高度 h 请用 cm 填写 ，页面计算势能时会自动换算为 m。
ΔEp = mgΔh
ΔEk = 1 2 mv² - 0
LIVE INPUT
当前为手动录入
手动录入
| 测量项目 | A | B | C | 自由选点 1 | 自由选点 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 相对 D 的高度 h / cm（填写） | |||||
| 到达 D 的速度 v / (m/s)（填写） | |||||
| 重力势能减少量 ΔEp / J | |||||
| 动能增加量 ΔEk / J |
LAB REVIEW · 实验回顾
实验回顾
将金属圆柱体由静止从 A、B 或 C 点释放，沿曲线运动到最低点 D，光电门测得 D 处速度 v。比较从释放点到 D 点过程中的重力势能减少量 ΔEp = mgΔh 与动能增加量 ΔEk = 12mv2 是否近似相等。
KEY PARAMETERS
关键参数 / 量程
- m
- 100 g 金属圆柱体质量
- g
- 9.7880 m/s² 重力加速度
- d
- 1.0000 cm 金属圆柱体直径（仅记录）
- L
- 1.0 cm 双头光电门两探头距离
- ΔhA,B,C
- 由实验装置给定 A / B / C 三点相对 D 的高度差
CORE RELATIONS
关键关系 / 核心公式
-
能量比较
ΔEp = m g Δh， ΔEk = 12m v2 − 0 = 12m v2
-
相对误差
δ = |1 − ΔEp / ΔEk|
页面按这个表达式比较势能减少量和动能增加量。
-
速度的获取（双头光电门）
v = L ⁄ Δt
金属圆柱体直径 d 不参与速度计算，仅作为实验记录项，便于对比不同直径圆柱体的结果。
PROCEDURE
装置 / 测量步骤
- 把金属圆柱体放在 A 或 B 或 C 点，由静止释放。
- 金属圆柱体沿曲线运动到最低点 D，前缘先后通过双头光电门两个探头。
- 读取时间差 Δt，由 v = L ⁄ Δt 得到 D 处速度（L = 1 cm 为两探头固定间距）。
- 记录 m、Δh，计算 ΔEp 与 ΔEk，按 δ = |1 − ΔEp / ΔEk| 比较相对误差。
- 在 A、B、C 三点重复，做多组数据并可作 v2-Δh 图。
NOTES & CAVEATS
主要误差来源 / 注意事项
- 本实验的"质心"概念至关重要——Δh 应当是金属圆柱体质心（圆柱中心）从释放点到 D 点的高度变化。
- 光电门应该测金属圆柱体质心通过 D 点时的速度，若触发位置对应前缘或后缘，需要在数据解释中说明这一近似。
- 滚动状态下 ½mv2 仅是平动动能，部分动能以转动动能 ½Iω2 形式存在，是 ΔEk 偏小的主因之一。
EXERCISES · 配套练习
配套习题：沿曲线运动验证机械能守恒
紧扣本实验的原理、操作与误差分析共 8 题 （选择题 / 多选 3 题、填空题 1 题、简答 / 计算题 4 题）。 选择题与填空题点选后立即给出对错反馈，所有题目都可以点击"查看详解"获得推导过程。
-
第 1 题 基础 选择题 关于本实验中"为何选用 A、B、C 三个不同高度释放金属圆柱体并多次测量"，最主要的目的是（ ）
参考解答 / 详解
答案：B。多个不同 Δh 各对应一组 ΔEp 与 ΔEk，可以画 v² − Δh 图， 从斜率反推 g，也可以逐组比较以减少偶然误差，体现"在不同条件下守恒律都成立"。
-
第 2 题 中等 选择题 本实验中最容易被忽视的误差源是（ ）
参考解答 / 详解
答案：C。A 在沿曲线运动时速度不大，几乎可忽略；B 通过专业释放装置可控制； D 对相对误差影响极小（< 0.1%）。
滚动状态下动能 = ½ mv² + ½ I ω²，平动动能 ½ mv² 永远比总动能小： 实心圆柱 ½ I ω² = ½ · ½ mr² · (v/r)² = ¼ mv²，约占总动能的 1/3。 这是为什么实测 ΔEk 偏小的最主要原因。
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第 3 题 中等 多选题 关于"Δh 是哪两点的高度差"，下列说法正确的是（ ）
参考解答 / 详解
答案：A、C、D。
- A：质心是动能、势能计算的"代表点"，Δh 必须用质心高度差。
- B 错：不能依赖装置铭文是否扣除质心修正，应自行用直径作必要修正。
- C：若忽略 d/2 的系统差，Δh 会偏大约 d/2 = 0.5 cm，对 ΔEp 引入约 0.005 / 0.20 = 2.5% 的误差。
- D：Δh 仅由轨道几何决定（释放点与 D 点的轨道表面高度差再加修正），与圆柱本身无关。
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第 4 题 中等 填空题 金属圆柱体质量 m = 50 g，从 B 点释放，B 点比 D 点高 Δh = 20.0 cm，取 g = 9.80 m/s²。
- 重力势能减少量 ΔEp = J。
- 若完全不考虑滚动和摩擦，到 D 点的理论速度 v理 = m/s（保留 3 位有效数字）。
参考解答 / 详解
(1) ΔEp = m g Δh = 0.050 × 9.80 × 0.20 = 0.0980 J。
(2) v理 = √(2 g Δh) = √(2 × 9.80 × 0.20) = √3.92 ≈ 1.98 m/s。
-
第 5 题 基础 计算与数据处理 实测一次：m = 0.050 kg，从 B 点静止释放，Δh = 20.0 cm， 双头光电门测得 v = 1.92 m/s。
- 计算 ΔEp 与 ΔEk。
- 计算相对误差 δ = |1 − ΔEp / ΔEk| × 100%。
- 与上一题（理论值 v理）对比，实测速度比理论值小，差异主要源于哪些因素？
参考解答 / 详解
(1) ΔEp = 0.050 × 9.80 × 0.200 = 0.0980 J； ΔEk = ½ × 0.050 × 1.92² = 0.025 × 3.6864 ≈ 0.0922 J。
(2) δ = |1 − 0.0980 / 0.0922| × 100% ≈ 6.3%。
(3) 实测 v < v理 = 1.98 m/s，差异源于：
- 滚动状态下部分平动动能 → 转动动能（最主要）；
- 摆线轨道与圆柱接触处的滑动摩擦做负功；
- 释放瞬间金属圆柱体摆动 / 滑动，姿态非纯滚动；
- 空气阻力（次要）。
-
第 6 题 中等 计算与数据处理 同一金属圆柱体，分别从 A、B、C 三点释放（ΔhA > ΔhB > ΔhC），得到下表数据：
释放点 Δh / cm v / (m·s⁻¹) ΔEp / J ΔEk / J 相对误差 A 30.0 2.34 ? ? ? B 20.0 1.92 ? ? ? C 10.0 1.36 ? ? ? 取 m = 0.050 kg，g = 9.8 m/s²。
- 补全表格。
- 比较三次实验的相对误差，是否随 Δh 增大而单调变化？分析其物理原因（提示：滚动动能与摩擦做功对总能量的相对占比）。
- 若以 v² 为纵坐标、Δh 为横坐标作图，理论上斜率应为 2g ≈ 19.6，实验所得斜率约为多少？这对实验目的（验证机械能守恒）意味着什么？
参考解答 / 详解
(1) 计算结果（取 m = 0.050 kg，g = 9.8 m/s²）：
释放点 Δh / cm v / (m·s⁻¹) ΔEp / J ΔEk / J 相对误差 A 30.0 2.34 0.1470 0.1369 7.4% B 20.0 1.92 0.0980 0.0922 6.3% C 10.0 1.36 0.0490 0.0462 6.1% (2) 相对误差随 Δh 增大略微增大。原因：
- 滚动动能始终占总动能 ~1/3，与 Δh 关系不大，是恒定相对值；
- 摩擦阻力做负功与路径长度成正比，A 点路径最长，摩擦消耗能量绝对量更多；
- 但 A 点 ΔEp 也最大，相对值仍主要由"滚动动能占比"决定，所以差距不大。
(3) v² − Δh 数据点：(0.10, 1.85)、(0.20, 3.69)、(0.30, 5.48)， 斜率 k ≈ (5.48 − 1.85) / 0.20 ≈ 18.2。
理论 2g = 19.6，差 ≈ 7.1%；这一斜率亏损正是滚动动能与摩擦带走能量的体现： v² = 2g' Δh，其中 g' = k / 2 ≈ 9.1 m/s²。
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第 7 题 中等 误差分析与改进 列出本实验特有的误差来源（至少 4 条），并按是否会引起 ΔEp > ΔEk 的系统性偏差分类。
参考解答 / 详解
系统性偏差源（使 ΔEp > ΔEk） 双向 / 随机误差源 滚动动能占总动能 ~30%，被 ½ mv² 公式忽略 双头光电门 Δt 测量抖动 摆线轨道与圆柱间滑动摩擦做负功 释放瞬间手部初速度 空气阻力做负功 圆柱在轨道上摆动姿态不正 Δh 没有用质心修正，按表面读数会偏大 多次实验时 L 标定偶然变化 -
第 8 题 中等 误差分析与改进 下列改进措施，哪些可以降低实验相对误差？请逐条判断并说明物理原因。
- 把金属圆柱体表面打磨光滑、轨道擦干净，减小摩擦
- 把金属圆柱体换成"小滑块"（不是圆柱，无法滚动）
- 把双头光电门间距 L 由 1 cm 增大到 2 cm
- 增大金属圆柱体质量
- 在 D 点上方再加一个光电门，独立测一次速度做交叉验证
参考解答 / 详解
- A 可：直接减小摩擦，效果最明显；
- B 不一定：滑块虽无转动动能，但与轨道间摩擦更大、姿态更不稳，实测往往误差更大；
- C 可（双刃剑）：L 增大让 Δt 增大、相对读数误差减小；但此时 D 点附近的速度不再是"瞬时速度"而是 L 段平均速度。需在 1 ～ 2 cm 之间取折中；
- D 基本无效：ΔEp 与 ΔEk 都正比 m，相对误差与质量无关；不过较重圆柱对空气阻力更不敏感，在大 Δh 时有微小好处；
- E 可：双独立速度比较可发现单点测量异常，但需要硬件支持。